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sábado, 11 de junio de 2011

DIFERENCIA FINITA

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

$\Delta[f](x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}. \,$

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

$\nabla[f](x) = \frac{f(x) - f(x-h)}{h}.$

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

$\delta[f](x) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.$

RELACIÓN CON LAS DERIVADAS

La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite
$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$
Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte en
$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\Delta[f](x)}{h}.$
Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es
$\frac{\Delta[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0).$
La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:
$\frac{\nabla[f](x)}{h} - f'(x) = O(h).$
Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).
$\frac{\delta[f](x)}{2h} - f'(x) = O(h^{2}) . \!$

CALCULO DE DIFERENCIAS FINITAS

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
$\Delta = hD + \frac12 h^2D^2 + \frac1{3!} h^3D^3 + \cdots = \mathrm{e}^{hD} - 1,$
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder $f\,$ con su derivada $f\,'$ , es decir, $D = u'\,, D^2 = u''\,, D^3 = u'''\,,...$
Formalmente, invirtiendo la exponencial,
$hD = \log(1+\Delta) = \Delta - \frac12 \Delta^2 + \frac13 \Delta^3 + \cdots. \,$
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:
$f'(x) \approx \frac{\Delta[f](x) - \frac12 \Delta^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}.$
El error de la aproximación es del orden de h².
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
$hD = -\log(1-\Delta) \quad\mbox{y}\quad hD = \, \operatorname{arcsinh} \left( \Delta \right).$

jueves, 9 de junio de 2011

CAMPO VECTORIAL

En matemática un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma $\varphi:\R^n \to \R^n$ .

Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.

En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclídeo $X \subset \R^n$ es una funcióna valores vectoriales: $\mathbf{F}: X \rightarrow \mathbb{R}^n \,$

Decimos que $\mathbf{F}$ es un campo vectorial C^k si como función es k veces diferenciable con continuidad en X.

Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

OPERACIONES CON CAMPOS VECTORIALES

Dados dos campos vectoriales C^k F, G definidos sobre X y una función C^k a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:

$(f \mathbf{F})(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) \mathbf{F}(\mathbf{x})$

Debido a la linealidad de la función (F+G):

$\mathbf{(F+G)}(\mathbf{x}) = \mathbf{F}(\mathbf{x}) + \mathbf{G}(\mathbf{x})$

define el módulo de los campos vectoriales C^k sobre el anillo de las funciones C^k. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espacio vectorial.

DERIVACIÓN Y POTENCIALES ESCALARES Y VECTORES

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotorres pectivamente. Recíprocamente:

Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.
Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Estas propiedades se explican se derivan del teorema de Poincaré.

PUNTOS ESTACIONARIOS

Un punto x en X se llama estacionario si:

$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la sección anterior

EJEMPLOS

Un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra asociará a cada punto en la superficie de la tierra un vector con la velocidad y la dirección del viento en ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (magnitud) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "Alta" en la función usual de la presión barométrica actuaría así como una fuente (flechas saliendo), y un "Baja" será un sumidero (flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las áreas de alta presión a las áreas de presión baja.

Un campo de velocidad de un líquido móvil. En este caso, un vector de velocidad se asocia a cada punto en el líquido. En un túnel de viento, las líneas de campo se pueden revelar usando humo.

Campos magnéticos. Las líneas de campo se pueden revelar usando pequeñas limaduras de hierro.

Las ecuaciones de Maxwell permiten que utilicemos un conjunto dado de condiciones iniciales para deducir, para cada punto en elespacio euclídeo, una magnitud y una dirección para la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial que resulta es el campo electromagnético.

Campo gradiente

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador diferencial vectorial gradiente que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial C^k F sobre X se llama un campo gradiente o campo conservativo si existe una función C^k+1 a valores reales f: X →R (un campo escalar) de modo que

$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \qquad (\mathbf{x} \in X)$

La integral curvilínea sobre cualquier curva cerrada (e.g. γ(a) = γ(b)) en un campo gradiente es siempre cero.

$\oint_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_a^b \langle \nabla f( \mathbf{\gamma} (t)), \mathbf{\gamma}'(t) \rangle \, dt = \int_a^b \frac{d}{dt} f \circ \mathbf{\gamma}(t) \, dt = f(\mathbf{\gamma}(b)) - f(\mathbf{\gamma}(a)) = 0$ Campo central

Un campo vectorial C^∞ sobre Rⁿ \{0} se llama campo central si:

$\mathbf{F}(\mathbf{O}(\mathbf{x})) = \mathbf{O}(\mathbf{F}(\mathbf{x})) \qquad (\mathbf{O} \in O(n, \mathbf{R}) \mbox{ , } \mathbf{x} \in R^n \setminus \lbrace 0 \rbrace )$

Donde O(n, R) es el grupo ortogonal. Decimos que los campos centrales son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de un punto S. El punto S se llama el centro del campo.

Un campo central es siempre un campo gradiente, por los campos centrales pueden ser caracterizados más fácilmente mediante:

$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\left(\frac{\part U}{\part x}\mathbf{\hat{i}} + \frac{\part U}{\part y}\mathbf{\hat{j}} + \frac{\part U}{\part z}\mathbf{\hat{k}}\right)$

Campo solenoidal

Otros campos vectoriales se pueden construir a partir de un campo vectorial usando el operador diferencial vectorial rotacional que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial C^k F sobre X se llama un campo solenoidal si existe una función vectorial C^k+1 A: X → Rⁿ (un campo vectorial) de modo que:

$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x}) \qquad (\mathbf{x} \in X)$

La integral de superificie o flujo cualquier superficie cerrada de un campo solenoidal es siempre cero.

$\oint_{\partial V} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{S} \rangle = \int_V \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})\ dV = \int_V 0\ dV = 0$

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes

El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza variosteoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes

Introducción .

El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de unaantiderivada F de f:

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b) - F(a).$

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:

§ Para la F elegida, $\frac{dF}{dx}=f$ . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes aplica para formas diferenciales mayores ω en vez de F.

§ En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.

§ Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).

Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que encierran dicho intervalo:

$\int_{(a, b)} f(x)\,dx = \int_{(a, b)} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a).$

Por otro lado el teorema de Green relaciona hace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de derivadas sobre un área limitada por la curva simple:

$\iint_D\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\ dA= \int_{\part D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l}$

Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función sobre una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el interior del conjunto:

$\iint\limits_{\part U} \mathbf F \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{U} \boldsymbol\nabla\cdot\mathbf F \;dV$

El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una función "derivada" sobre el interior de la región limitada por la frontera.

Formulación general

Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C¹. Si ∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces

$\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.

El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define.

El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham.

El clásico teorema de Kelvin-Stokes

$\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{v} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \int_{\partial\Sigma} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r},$ que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano.

Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia: $\int_{\mathrm{Vol}} \nabla \cdot \mathbf{v} d\mathrm{Vol} = \int_{\partial \mathrm{Vol}} \mathbf{v} \cdot d\Sigma$ es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano.

El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos especiales del teorema de Stokes generalizado.

La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de más alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los últimos son más accesibles y a menudo son considerados más convenientes por físicos e ingenieros.

Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:

$\int_{S}(\nabla \; \times \; \vec A \;) \cdot \; \vec{ds} = \oint_{L} \vec A \; \cdot \; dl$

Donde $\vec A \;$ es un campo vectorial cualquiera.

Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilínea) cerrada del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.