sakura

DIFERENCIA FINITA

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

$\Delta[f](x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}. \,$

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

$\nabla[f](x) = \frac{f(x) - f(x-h)}{h}.$

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

$\delta[f](x) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.$

RELACIÓN CON LAS DERIVADAS

La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite
$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$
Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte en
$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\Delta[f](x)}{h}.$
Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es
$\frac{\Delta[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0).$
La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:
$\frac{\nabla[f](x)}{h} - f'(x) = O(h).$
Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).
$\frac{\delta[f](x)}{2h} - f'(x) = O(h^{2}) . \!$

CALCULO DE DIFERENCIAS FINITAS

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
$\Delta = hD + \frac12 h^2D^2 + \frac1{3!} h^3D^3 + \cdots = \mathrm{e}^{hD} - 1,$
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder $f\,$ con su derivada $f\,'$ , es decir, $D = u'\,, D^2 = u''\,, D^3 = u'''\,,...$
Formalmente, invirtiendo la exponencial,
$hD = \log(1+\Delta) = \Delta - \frac12 \Delta^2 + \frac13 \Delta^3 + \cdots. \,$
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:
$f'(x) \approx \frac{\Delta[f](x) - \frac12 \Delta^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}.$
El error de la aproximación es del orden de h².
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
$hD = -\log(1-\Delta) \quad\mbox{y}\quad hD = \, \operatorname{arcsinh} \left( \Delta \right).$

sakura

sábado, 11 de junio de 2011

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